Page 56 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

Trends in Science and Technology 17
for Sustainable Living

Dari Teorema 20, diperoleh beberapa sifat berikut.

Akibat 21. (Penttala, 2023)
Misalkan A operator self-adjoint pada H. Maka subruang
spektral V yang berasosiasi dengan operator A memenuhi sifat
E
berikut:
(i) Untuk himpunan yang saling bebas E , E ⊂  , subruang
1 2
spektral V dan V ortogonal.
E1 E2
(ii) Jika E terbatas, subruang spektral V termuat kedalam D(A)
E
dan V invarian terhadap A.
E
(iii) Spektrum dari A (A yang dibatasi pada subruang V )
V E E
termuat dalam klosur E. Secara khusus, jika E terbatas maka
A merupakan suatu operator terbatas.
V E
(iv) Jika E termuat dalam (λ − 0 , ελ + 0 ) ε maka untuk setiap φ ∈ V
E
berlaku (A λ− 0 ) I ϕ ≤ εϕ .
(v) Jika λ adalah spektrum dari A maka untuk setiap persekitaran
0
N dari λ diperoleh V ≠ {0} atau dengan kata lain µ A ( )N ≠ 0 .
N
0
Sifat (i), (ii), dan (iii) merupakan perumuman dari sifat
operator di ruang Hilbert berdimensi terbatas, pada kasus
ini, operator dipartisi ke dalam ruang eigen ortogonal yang
berkorespondensi ke vektor eigen berbeda. Pada kasus yang lebih
umum, perlu dimisalkan pula spektrum yang tidak memiliki vektor
eigen. Walaupun demikian, ruang Hilbert dapat dipartisi kedalam
subruang yang berkorespondensi ke subhimpunan berbeda dari
spektrumnya.
Kemudian, sifat (iv) menyatakan bahwa walaupun secara
umum tidak dapat ditemukan vektor eigen untuk setiap λ ∈ A, namun
0
ditemukan sebarang vektor yang cukup dekat untuk menjadi
vektor eigennya. Salah satunya dengan cara mengambil barisan
dari vektor φ sedemikian sehingga (A λ− 0 ) I ϕ ≤ εϕ dipenuhi
n
1
untuk ε = ,n∈ . Namun, tidak ada jaminan bahwa barisan
n
tersebut konvergen ke suatu anggota di ruang Hilbert, tetapi
kekonvergenannya hanya untuk nilai di titik spektrum λ 0 σ ∈ p ()A .
A
Terakhir, sifat (v) menjelaskan bahwa ukuran μ dapat bernilai tak
nol pada himpunan yang memuat λ dalam spektrum A.
0