Page 54 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

Trends in Science and Technology 15
for Sustainable Living

Dengan menggunakan Transfromasi Cayley, kita dapat
memperoleh teorema spektral untuk operator tak terbatas T dari
operator terbatas U. T mempunyai spektrum σ(T) yang terletak pada
garis real dari ℂ, sedangkan spektrum dari operator uniter terletak
pada lingkaran satuan dari ℂ. Dalam hal ini, domain dari operator
self-adjoint padat di H.

Akibat 18. (Penttala, 2023)
Misalkan T operator self-adjoint dan U adalah Transformasi
Cayley, maka U merupakan operator uniter dengan ker(I−U)=(0) dan
(I−U)(H) padat di H.

Selanjutnya, untuk mendukung pembuktian teorema utama
dalam artikel ini dibutuhkan definisi aljabar-σ Borel.

Definisi 19 (Royden & Fitzpatrick, 2010)
1) Misalkan X himpunan. Koleksi ∑ ⊆ X disebut aljabar-σ jika
memenuhi
(i) θ ∈ Σ
(ii) Jika A ∈ Σ maka X \ A ∈ Σ
(iii) Jika A , A , ... ∈ Σ maka  A ∈∑ .
k
1
2
k∈
2) Dalam ruang topologi, aljabar-σ Borel adalah aljabar-σ
terkecil yang memuat semua himpunan dari Σ.
Berikut merupakan teorema utama dalam artikel ini, yakni
teorema spektral untuk operator self-adjoint tak terbatas.

Teorema 20. (Zwart, 2018; Penttala, 2023)
Misalkan A adalah operator self-adjoint pada H. Maka
A
terdapat secara tunggal ukuran bernilai proyeksi μ pada σ(A)
dengan nilai proyeksi di ruang Hilbert H sedemikian sehingga

∫ λµ A ()λ = A
d
σ ( )
U