Page 49 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

10 Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Terbuka (2023)

domain dan range pada ruang Hilbert yang akan dibicarakan
pada bahasan utama artikel ini. Beberapa sifat dari operator linear
terbatas pada H diberikan pada definisi dan teorema berikut.

Definisi 8. (Penttala, 2023)
Misalkan T adalah operator linear terbatas pada H. Maka
adjoint dari T adalah T* sedemikian sehingga untuk setiap x, y ∈ H
berlaku x ,Ty = T *,x y .

Teorema 9. (Penttala, 2023) [Eksistensi operator adjoint)
Misalkan T* adalah operator adjoint dari T. Maka T* bersifat
tunggal dan terbatas dengan norm T * = T .

Teorema 10. (Speicher, 2020)
1) Untuk setiap T ∈ B(H) berlaku
(i) (T*)* = T
(ii) T * = T
(iii) TT * = T 2
2) Misalkan T operator linear terbatas pada H.
(i) Jika T* = T maka T disebut self-adjoint.
2
(ii) Jika T = T = T* maka T disebut proyeksi ortogonal.
(iii) Jika T * T = TT* = 1 maka T disebut uniter.
(iv) Jika T * V = 1 maka T disebut isometri.
(v) Jika TT* = T * T maka T disebut normal.

Misalkan T operator self-adjoint terbatas pada ruang Hilbert
H. Berdasarkan definisi operator adjoint dalam ruang Hilbert,
berlaku Tx y = x ,*T y untuk semua x, y ∈ H. Karena T = T* maka
,
Tx , y = , x Ty . Kemudian, karena H merupakan ruang Hilbert atas
lapangan kompleks, maka operator T disebut juga sebagai operator
Hermitian.
Selanjutnya, Firman (2016) menyebutkan beberapa sifat dari
operator self-adjoint dalam ruang Hilbert. Misalkan T : H → H operator
linear pada ruang Hilbert H, maka berlaku sifat-sifat berikut:
,
1) Jika T adalah self-adjoint, maka Tx x real untuk setiap
x ∈ H.