Page 45 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

6 Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Terbuka (2023)

diagonal real dengan entri-entri pada diagonalnya merupakan
nilai eigen dari matriks. Diagonalisasi tersebut dapat dilakukan
dengan bantuan teorema spektral.
Selanjutnya, teorema spektral menyatakan bahwa setiap
operator Hermitian pada ruang Hilbert memiliki suatu basis
ortonormal dari vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan
operator tersebut. Lebih spesifik, teorema spektral menyatakan
bahwa operator Hermitian pada ruang Hilbert dapat diuraikan
sebagai jumlah dari proyeksi terhadap vektor-vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai-nilai eigen dari operator tersebut dikalikan
dengan nilai-nilai eigennya sendiri. Dalam mekanika kuantum,
teori ini membantu untuk menganalisis operator-operator dalam
ruang Hilbert terutama operator-operator Hermitian yang mewakili
observabel-observabel fisik. Operator Hermitian dalam ruang
Hilbert merupakan operator self-adjoint. Selaras dengan Weckman
(2020), operator self-adjoint menjadi konsep fundamental dalam
mekanika kuantum dengan observabel direpresentasikan sebagai
operator self-adjoint dalam ruang Hilbert. Selain itu, dalam
mekanika kuantum, fisikawan seringkali harus bekerja dengan
operator yang tidak terbatas pada ruang fungsi yang tak terhingga,
antara lain operator posisi dan momentum. Sementara itu,
operator-operator self-adjoint dapat memiliki domain yang lebih
besar daripada domain operator adjoint mereka. Jadi, gagasan
teori spektral muncul dari upaya untuk menggeneralisasikan teori
nilai eigen dimensi terbatas ke dimensi tak terbatas (Arveson, 2006;
Morreti, 2013).
Selain operator posisi dan momentum, penerapan operator
self-adjoint tak terbatas dalam mekanika kuantum tercermin
pada operator yang digunakan dalam pemodelan pergerakan
gelombang seperti operator pada persamaan Schrodinger.
Misalkan ψ ()t menunjukkan keadaan sistem pada waktu t,
persamaan Schrodinger dinyatakan sebagai i d ψ ()t = H ψ ()t
dt
dengan H adalah operator self-adjoint yang padat di ruang Hilbert, i
adalah unit imajiner, dan  merupakan konstanta Planck tereduksi.