Page 50 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

Trends in Science and Technology 11
for Sustainable Living

2) Misalkan S dan T operator linear self-adjoint, maka
(i) TS self-adjoint jika dan hanya jika S dan T komutatif,
ST = TS.
(ii) S + T self-adjoint.
(iii) untuk setiap α ∈ , αT self-adjoint.
3) Jika T barisan operator self-adjoint yang konvergen ke T,
n
maka T self-adjoint.
4) Misalkan T operator linear self-adjoint, maka semua nilai
eigen dari T (jika ada) adalah real.

3. Operator Self-adjoint Tak Terbatas di Ruang Hilbert
Pada operator self-adjoint tak terbatas di ruang Hilbert,
operator ini mungkin tidak terdefinisi pada seluruh ruang Hilbert.
Meskipun demikian, operator ini tetap memenuhi sifat self-adjoint.
Domain dari operator self-adjoint tak terbatas adalah ruang
dari vektor-vektor yang operator itu terdefinisi. Domain T, D(T), bisa
juga berupa subruang Hilbert. Kepadatan D(T) pada H menjadi
syarat cukup dan perlu eksistensi dari suatu operator adjoint. Untuk
selanjutnya, asumsikan bahwa operator self-adjoint terdefinisi
pada subruang padat H. Perhatikan definisi berikut.

Definisi 11 (Penttala, 2023)
1) Misalkan T : D(T) → H adalah operator linear (tak terbatas) di
ruang Hilbert kompleks H, dengan D(T) padat di H. Domain
operator adjoint T* : D(T*) → H dari T didefinisikan sebagai
berikut: D(T*) terdiri dari semua y ∈ H sedemikian sehingga
,
terdapat y* ∈ H yang memenuhi Txy = xy
, * untuk setiap
x ∈ H dengan T* y = y*.
2) Suatu operator tak terbatas T pada H dikatakan simetri jika
, x Ty = Tx , y untuk setiap x, y ∈ D(T). Operator T adalah self-
adjoint jika T simetri dan D(T*) = D(T).

Disini, eksistensi dan ketunggalan dari vektor y* diperoleh dari
Teorema Representasi Riesz (dapat dilihat di Kreyzig (1978)). Contoh
umum dari operator self-adjoint tak terbatas dalam mekanika
kuantum adalah operator momentum. Operator momentum