Page 51 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

12 Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Terbuka (2023)

adalah operator yang terkait dengan pergeseran posisi suatu
partikel. Sebagai contoh, untuk kasus satu partikel dalam dimensi
satu, operator momentum didefinisikan sebagai

 p = − i ∂
∂x

dengan  adalah konstanta Planck tereduksi, i unit imajiner,
∂
x koordinat spasial, dan melambangkan turunan parsial.
∂x
4. Teorema Spektral untuk Operator Self-adjoint Tak Terbatas
Operator seringkali dapat dipelajari dalam hal spektrumnya.
Untuk ruang Hilbert berdimensi terbatas, spektrum berkaitan
dengan nilai eigen operator. Operator linear tak terbatas juga
mempunyai sifat-sifat umum dari spektrum yang berlaku pada
operator terbatas khususnya untuk kasus operator-operator linear
self-adjoint. Definisi dan lemma berikut menyatakan spektrum dan
sifat spektral dari operator.

Definisi 12. (Penttala, 2023) [Spektrum dari suatu operator]
1) Misalkan λ ∈ ℂ, maka himpunan ρ(T) dari λ ∈ ℂ memenuhi
(i) Range ( − T λI )= H ,
(ii) ( − T λI ): ( ) → DT H injektif,
1
() →
−
(iii) ( − T λI ) : Range T H
2) Misalkan λ ∈ ρ(T). Resolven dari T adalah operator
−
( −
1
λ () (= R T − T λ ) : Range T λI ) → I D ()T
3) Spektrum dari T adalah himpunan ()σ =  \ ()ρ T T .
Lemma 13. (Penttala, 2023)
Misalkan T ∈ B(H) operator dengan T < 1 . Maka (T − λI)
-1
ada sebagai operator linear terbatas pada seluruh ruang H dan
∞
( − T λI ) = − 1 ∑ T , deret tersebut konvergen dalam norm operator.
n
n = 0