Page 52 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

Trends in Science and Technology 13
for Sustainable Living

Lemma 14. (Penttala, 2023; Weckman, 2020)
1) Misalkan H ruang Hilbert kompleks. Spektrum σ(T) dari
operator self-adjoint T : D(T) → H dengan D(T) padat di H,
bernilai real dan bersifat tertutup.
2) Misalkan U : H → H operator uniter pada H ≠ {0} maka
spektrum σ(u) adalah subhimpunan tutup dari circle satuan.
1
Dengan demikian λ = untuk semua λ ∈ σ(u).
Jika sebuah operator pada ruang Hilbert adalah uniter, maka
teorema spektral juga berlaku untuk operator tersebut. Namun,
basis vektor eigen ortonormal pada operator uniter tidak selalu ada.
Oleh karena itu, operator uniter memiliki spektrum yang terbatas
pada circle satuan (modulus 1), yang menyatakan nilai-nilai eigen
dari operator tersebut. Selanjutnya, diperkenalkan ukuran bernilai
proyeksi yang merupakan perumuman dari ukuran, dengan nilai
real, yang nilai dari ukurannya merupakan operator proyeksi ke
subruang dari ruang Hilbert asal. Dalam ruang berdimensi hingga,
jika operator T normal, maka teorema spektral menyatakan bahwa
operator T dapat ditulis sebagai

T = λ i λ ∑ ee +
i λ i i
dengan λ adalah nilai eigen ke-i dan e menyatakan vektor eigen
i i
yang bersesuaian. Hal ini menunjukkan Tx dapat diinterpretasikan
sebagai berikut: setiap suku dalam jumlahan tersebut dapat
dipandang sebagai proyeksi vektor x ke dalam ruang eigen dan
kemudian dikalikan dengan nilai eigen yang bersesuaian. Pada
kasus dimensi berhingga, T dapat dituliskan sebagai T = ∫ λµd T ()λ
()
σ T
dengan σ(T) menyatakan spektrum operator T dan µ T : ()σ T → BH
( )
T
ukuran bernilai proyeksi yang didefinisikan sebagai µ E λ
( ) = ∑ P
dengan P λ = ee + λ operator proyeksi. λ∈E
λ
Selanjutnya, teorema spektral untuk operator uniter diberikan
pada teorema berikut.