Page 53 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

14 Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Terbuka (2023)

Teorema 15. (Penttala, 2023)
Misalkan U adalah operator uniter pada H. Maka terdapat
U
ukuran bernilai proyeksi μ pada σ(U) dengan nilai pada B(H)
sedemikian sehingga
∫ λµd U ()λ =U .
( )
σ U
Untuk membuktikan teorema spektral bagi operator-
operator self-adjoint yang tak terbatas, dibutuhkan fungsi yang
memetakan operator self-adjoint ke operator uniter. Hal ini
dapat dilakukan dengan memanfaatkan transformasi Cayley.
Transformasi Cayley diadopsi dari transformasi Mobius. Misalkan
)
C : \{ }→ i  , ( ) = Cx x + i = ( + x )( − i x i merupakan transformasi Mobius
xi
−
yang memetakan garis real ke circle satuan dan invers dari
x − + i
transformasi Mobius yaitu C − 1 : \{1}→ ,  − 1 ( ) = C x = i ( + ix 1)( − x 1) .
1
−
xi
Analog dengan transformasi Mobius, dalam transformasi Cayley,
spektrum dari operator self–adjoint dipetakan ke dalam spektrum
dari operator uniter, sedangkan invers dari transformasi Cayley
memetakan spektrum dari operator uniter ke dalam spektrum dari
operator self-adjoint.
Teorema 16. (Penttala, 2023) [Transformasi Cayley]
Misalkan T : D(T) → H operator self-adjoint dan U
operator uniter, maka Transfromasi Cayley dinyatakan dengan
U = (T + iI )(T − ) I − 1 .

Teorema 17. (Penttala, 2023; Kreyzig, 1978) [Invers Transformasi
Cayley]
Misalkan T : D(T) → H operator linear self-adjoint dan
1
−
U = (T + iI )(T − iI ) maka T = ( iU + I )(U − ) I − 1 dan 1 bukan nilai egien
dari U.