Page 55 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

16 Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Terbuka (2023)

Bukti. Misalkan H ruang Hilbert dan E ⊆ H . Misalkan pula A operator
self-adjoint, U operator uniter, dan C − 1 ( )U = ( iU + I )(U − ) I − 1 φ ∈ E.
A
Pertama, akan ditunjukkan eksistensi dari μ . Definisikan ukuran
µ U ( )E = , ϕ µ U ( )E ϕ dan µ A ( )E = , ϕ µ U ( ( ))CE ϕ . Misalkan λ C − 1 ()ξ = ,
ϕ ϕ
maka
∫ λ dµ ϕ A ( )λ = ∫ C − 1 ()dξ µ ϕ A (C − 1 ())ξ = ∫ C − 1 ()dξ µ ϕ U ()ξ
 S 1 \{1} S 1 \{1} (5)
ϕ= ,C − 1 ()ϕ U ϕ= , Aϕ

Karena (5) berlaku untuk semua φ ∈ H, diperoleh

d
A = ∫ λµ A (6)

A
Jika μ pada σ(A), maka persamaan (6) dapat ditulis menjadi
d
A = ∫ λµ A
σ ()A
A
Selanjutnya, akan dibuktikan ketunggalan dari μ . Misalkan
A
terdapat ukuran bernilai proyeksi v sedemikian sehingga
∫ λ dv A ()λ = A . Maka dapat ditunjukkan bahwa operator uniter yang
U
σ ( )
1
−
diberikan oleh transformasi Cayley, U = (A iI A iI+ )( − ) , dapat ditulis
sebagai
U = C ( )A = ∫ C ()dvλ ψ A ()λ ∫ ξ= dv ψ A (C − 1 ( ))ξ
 S 1 \{1}
Disisi lain,
U = CA ∫ C ()dλ µ ψ A ()λ = ∫ ξµ ψ A (C − 1 ( ))ξ
d
( ) =
 S 1 \{1}
Berdasarkan ketunggalan dari ukuran bernilai proyeksi
untuk operator uniter, diperoleh v ψ A (C − 1 ( ))E = µ ψ A C − 1 ( ))E untuk semua E
di aljabar-σ Borel dari S − 1 \{1} . Karena C − 1 : S − 1 \{1}→  bijektif, maka
A
A
A
haruslah v = μ . Jadi, ukuran μ tunggal.