Page 60 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

Trends in Science and Technology 21
for Sustainable Living

Untuk kasus operator tak terbatas, observabel dapat
diasosiasikan ke operator self-adjoint tak terbatas pada ruang
Hilbert yang sesuai dan spektrum dari setiap operator serupa
dengan nilai observabel yang mungkin dicapai. Teorema spektral
memberikan konstruksi dari operator yang rumit mulai dari proyeksi
atau dekomposisi operator hingga proyeksi pada spektrum.
Teorema spektral untuk operator self-adjoint pertama kali
dibuktikan oleh Jhon von Neumann. Perkembangan teorema ini
dianggap krusial untuk formulasi di ruang Hilbert dari mekanika
kuantum dan salah satu dari pencapaian paling penting dalam
matematika dan matematika fisika selama abad ke-20. Vonn
Neumann juga membangun aksioma di ruang Hilbert yang
berkaitan dengan pendekatan ke mekanika kuantum yaitu,
Heisenberg dan Schrodinger (Moretti, 2013).
Berdasarkan aksioma yang dibangun von Neumaan
(Weckman, 2020), kita dapat menyimpulkan beberapa hal berikut:
1) Keadaan ψ dari suatu sistem kuantum adalah vektor tak nol
dari ruang Hilbert terpisahkan bernilai kompleks H. Terdapat
korespondensi satu-satu diantara observable dan operator
linear self-adjoint pada H. Kita dapat memisalkan keadaan
ψ sebagai vektor satuan pada H. vektor keadaan memuat
ketersediaan informasi lengkap dari sistem kuantum.
2) Observabel direpresentasikan oleh operator linear self-
adjoint pada H. setiap observable  terdefinisi pada
ˆ
()
subhimpunan padat DA ⊆ H .
3) Ketika sebuah observabel terukur pada keadaan ѱ∈ H,
hasilnya selalu berupa salah satu nilai pada σ(A). Nilai
ekspektasi dari ukuran dari A dihitung sebagai nilai rata-rata
dari operator pada keadaan ѱ. Observabel A , A , ... , A secara
1
2
n
simultan terukur jika dan hanya jika operator self-adjoint  ,
1
 , ... ,  saling komutatif.
2
n
4) Terdapat sebuah grup parameter U dari operator uniter
t
yang disebut sebagai operator evolusi yang memetakan
ѱ pada waktu t = 0 ke ѱ(t) = U ѱ pada waktu t. Operator U t
0
0
t
berbentuk U = e − iHt  /h , dan h konstanta Plank. Jika ѱ ∈ D(H)
t
0
d
maka ѱ(t) terdiferensialkan dan ih Ψ () t = HΨ () t .
dt