Page 48 - Trends in Science and Technology fo Sustainable Living

Trends in Science and Technology 9
for Sustainable Living

Definisi 6. (Speicher, 2020)
1) Misalkan H adalah ruang vektor kompleks. Jika terdapat
pemetaan ,:⋅⋅ HH →  sehingga untuk semua x, y, z ∈ H
×
dan λ ∈ ℂ memenuhi
(i) , + xy = z , xy + , x z
(ii) x ,λ = λ y , xy
(iii) , x y = , yx
,
(iv) , xx ≥ 0 dan xx = 0 jika dan hanya jika x = 0
dan jika H merupakan ruang yang lengkap dengan norm
,
x := xx 1/2 maka H disebut ruang Hilbert.
2) Misalkan H adalah ruang Hilbert. Jika H mempunyai
subhimpunan padat yang terhitung, maka H disebut dapat
dipisahkan (separable).
3) Misalkan T : H → H adalah suatu pemetaan. Jika T linear,
yakni untuk setiap x, y ∈ H dan λ ∈ ℂ memenuhi T(x + y) = T(x)
+ T(y) dan T(λx) = λT(x) , maka T disebut operator linear.

Definisi 7. (Penttala, 2023)
Misalkan X dan Y ruang vektor dengan norm masing-masing
adalah . dan . , serta T : X → Y suatu operator. Maka norm
X Y
operator dari T diberikan sebagai

= inf{M ∈ T Tx ≤ M x untuk semua ∈ x X } (2)
Y X
Jika T <∞ maka operator T dikatakan terbatas. Misalkan
<∞
T menyatakan norm operator dari T maka ruang operator dari
operator-operator terbatas dinotasikan dengan

B ( ) :=H { :T H → HT linear dan terbatas } (3)

Dengan demikian, operator linear dikatakan terbatas jika
dan hanya jika terdapat bilangan real M sedemikian sehingga untuk
setiap x ∈ D(T) berlaku Tx ≤ M x , dengan D(T) menyatakan domain
T. Keterbatasan operator menjadi penting karena berkaitan dengan