Page 69 - Science and Technology For Society 5.0

32 ~ Seminar Internasional FST UT 2021 ~

fungsi tujuan dengan asumsi bahwa ketergantungan fungsi waktu terjadi
melalui faktor diskon (Sethi, 2019). Dengan demikian fungsi tujuan menjadi
J e = − rt ( x ( ) ) t f ,t f + 0 t  f t e − rt ( x ( ) ( ) )dtu t ,t . (9)
t
,

Syarat perlu untuk mendapatkan kondisi optimal dengan fungsi tujuan
discounted adalah:
a. Kondisi stasioner
L 
0. = (10)
u

b. Persamaan state and co-state
 L
x = (11)
λ
L 
T r= λ T − λ (12)
x

dengan ( ) =x t 0 x dan ( ) 0tλ T f = .
0

4. Prinsip Maksimum Pontryagin
Prinsip maksimum adalah syarat perlu untuk dapat memperoleh solusi
kontrol optimal sesuai dengan sistem dinamik mulai state awal hingga state
akhir, yaitu mengoptimalkan fungsi tujuan dengan kontrol ( ) tu terbatas

pada ( ) t u . Prinsip maksimum ini diformulasikan pada tahun 1956 oleh
matematikawan Rusia yaitu Lev Pontryagin dan murid-muridnya (Naidu,
2002). Prinsip ini menyatakan bahwa persamaan Hamiltonian akan
maksimal sepanjang , dengan adalah himpunan kontrol yang mungkin
(Bryson & Ho, 1975) . Adapun persamaan Hamiltonian yang dimaksud
adalah

, t t +
H= (x ( ) ( ) ) , t u λ T ( ) ( t f x ( ) ( ) ) , . t , t tu (13)

Karena kontrol ( ) tu dibatasi oleh a ( ) ,t u b maka persamaan
Hamiltonian-Lagrangian yang terbentuk adalah sebagai berikut: