Page 77 - Science and Technology For Society 5.0

40 ~ Seminar Internasional FST UT 2021 ~

 p− ( ) t +  ( ) 0t =

 p− ( ) t + r ( ) t + h ( ) t +  ( ) ( ) t  t −  2 ( ) t +  3 ( ) 0 t = (40)
dan
d 2
H 0=
dt 2 u
¨
 p− ( ) t +  ( ) t + r ( ) t + h ( ) t +  ( ) ( ) t +  ( ) ( ) t −  2 ( ) t +  3 ( ) 0t =

t

t
¨
 p− ( ) t +  ( ) t + r ( r ( ) t + h ( ) t +  ( ) ( ) t −  2 ( ) t +  3 ( )) + h ( ) t
t
t

+ ( r ( ) t + h ( ) t +  ( ) ( ) t −  2 ( ) t +  3 ( )) ( ) t +  ( ) ( ) t

t
t
t
−  ( ) t +  ( ) t = 0 (41)
2 3

Kontrol tidak dapat ditentukan dari kondisi (40) dan (41) sehingga
dapat disimpulkan bahwa busur singular tidak terdefinisi. Karena ( ) t
u
terbatas, Hamiltonian yang maksimum dapat ditentukan dari persamaan
(24) yang menjadi

 0 , if  ( ) t  p ( ) ( );t o t+

u * ( ) t =  tidak terdefinisi, if  ( ) ( ) ( );t p t= o t+ (42)

  , if  ( ) ( ) ( ).t p t o t+

x
t
Berdasarkan kontrol optimal (42), maka u * ( ) t = d ( ) t +  ( ) ( ) t dapat
ditentukan ketika ( ) t = p ( ) t + o ( ),t agar dapat memenuhi permintaan dan
mengganti yang rusak. Dengan demikian persamaan (42) dapat ditulis
kembali menjadi

 0 ; jika t ( ) ( ) ( ) t p t o+

t
*
( ) d
p t
t
u t =  ( ) ( ) ( ) ; jika t + x t  ( ) ( ) ( ) t= o+ (43)
  ; jika t ( ) ( ) ( ) t o+
 p t

Selanjutnya dengan menggunakan syarat umum Legendre Clebs orde
)
dua ( 1k= , dapat dibuktikan bahwa persamaan Hamiltonian mencapai
optimal secara lokal sepanjang busur singular. Dalam hal ini, turunan kedua